** Avec une fonction auxiliaire

Partie 1 - Étude d’une fonction auxiliaire

Soit \(g\)  la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\) par \(g (x) = (x + 2)\text{e}^{x-4} − 2\) .

1. a. Déterminer la limite de  \(g\) en \(+\infty\) .
    b. Déterminer la limite de  \(g\) en \(-\infty\) .
2. Calculer \(g'(x)\) pour tout réel  \(x\) puis dresser le tableau de variations de \(g\) .
3. Démontrer que l'équation \(g (x) = 0\) admet une unique solution  \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\) .
4. En déduire le signe de la fonction  \(g\) sur \(\mathbb{R}\) .
5. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude  \(10^{-3}\) de \(\alpha\) .

Partie 2 - Étude d'une fonction

Soit  \(f\) la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\) par \(f (x) = x^2 − x^2\text{e}^{x−4}\) .

1. Résoudre l’équation  \(f(x)=0\) sur \(\mathbb{R}\) .
2. a. Montrer que, pour tout réel \(x\) , \(f ′(x) = −xg (x)\) .
    b. En déduire les variations de la fonction  \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .
3. Démontrer que le maximum de la fonction  \(f\) sur \([0\ ;+\infty[\)  est égal à \(\displaystyle\frac{\alpha^3}{\alpha+2}\) .